#Numeriacaso: la frontiera efficiente e i portafogli creati da scimmie bendate

I cosiddetti robo-advisor spuntano come funghi ovunque. L’onda del Fintech, del digital investment, cresce in tutto il mondo. In quell’onda ci siamo anche noi di AdviseOnly.

Credo sia un’onda assai benefica per i risparmiatori: dovrebbe portare con sé trasparenza e costi più bassi, democratizzando la finanza e, in definitiva, provocando l’evoluzione dell’industria del risparmio gestito, obsoleta da molti, troppi, punti di vista.

In tutto ciò trovo però inquietante una cosa: si parla troppo di Modern Portfolio Theory (MPT, per brevità) e di Markowitz.

Molti robo-advisor asseriscono infatti di fornire “portafogli ottimizzati grazie alla MPT per offrire la miglior performance possibile” (Betterment). Determinano “il mix ottimale di investimenti grazie alla Frontiera Efficiente, utilizzando l’ottimizzazione media-varianza, la base della MPT del vincitore del premio Nobel Harry Markowitz” (Wealthfront).

Se partecipate a una conferenza di Fintech – e a me capita – affermazioni del genere sono frequenti.

Vi chiederete dove stia il problema. Beh, il problema è che se il vostro portafoglio è stato creato grazie all’ingenua applicazione della MPT, vi trovate con un bel mix casuale di investimenti, praticamente un portafoglio creato da uno scimpanzè bendato. Random Portfolio Theory, più che Modern Portfolio Theory. Per convincervene, procediamo per gradi, introducendo prima l’idea (mitica) di frontiera efficiente.

La frontiera efficiente for dummies

L’idea si riassume così^_[1]:

• vogliamo allocare denaro tra N investimenti, costruendo un portafoglio “ottimale”;
• ipotizziamo di conoscere il meccanismo che produce i rendimenti degli N investimenti – si tratta di variabili casuali che seguono una certa distribuzione di probabilità, che si chiama gaussiana multivariata (se non avete idea di cosa sia, non importa, restate con me, afferrerete l’idea ugualmente);
• questa distribuzione di probabilità è definita da due gruppi di parametri, ovvero le medie dei rendimenti (i rendimenti attesi), che chiamiamo m, e la matrice di covarianza, S (immaginatela semplicemente come una tabella zeppa di numeri);
• una volta deciso il livello di rischio che intendiamo sopportare, secondo la Modern Portfolio Theory, i pesi ottimali dei vari investimenti dipendono dalle medie m e dalla matrice di covarianza, S (vi risparmio la formula, inessenziale per capire la natura del problema);
• i parametri m e S però non sono noti, ma vanno stimati a partire dai dati, generalmente le serie storiche dei rendimenti degli N investimenti (in pratica si prendono i dati e si applicano delle formule);
• muniti delle stime di m e S, applicando un’altra formula, si ottengono i pesi dei vari investimenti nei portafogli ottimi, da quello con il rischio minimo a quello con il massimo rendimento possibile;
• l’insieme di questi portafogli ottimi è detto frontiera efficiente, tipicamente rappresentata con un grafico che mette in relazione rischio e rendimento atteso per tutti i portafogli.

Fin qui tutto bellissimo. E poi molto scientifico, no? C’è anche di mezzo un premio Nobel, wow! Immagino che molti di voi ritengano che mi stia arrovellando intorno a una sottile questione tecnica, irrilevante nella pratica.

Niente di più sbagliato. State con me e vi mostrerò la vastità del problema. Però devo farvi prima indossare i panni di Dio.

Nei panni del Dio dei Mercati

Immaginate di essere il Dio dei Mercati. Fico. In quanto divinità onnisciente e onnipotente, decidete il meccanismo generatore dei rendimenti di tutte le attività finanziarie: una distribuzione di probabilità gaussiana multivariata, sicché la MPT calza perfettamente con la realtà. Essendo il Dio dei Mercati non dovete stimare m e S: li conoscete, anzi, li avete stabiliti voi. Calcolate la frontiera efficiente, che è vera e giusta per definizione, e ottenete un grafico come quello riportato poco sopra.

Poi, rivolgete lo sguardo divino ai poveri umani: volete proprio vedere come se la cavano con la teoria di portafoglio. Generate quindi le serie storiche dei rendimenti degli N investimenti, ad esempio 5 anni di dati, in modo che i miserabili Sapiens possano stimare medie m, covarianza S e, con un ardito calcoletto, la frontiera efficiente. Poi con un po’ di sadismo, fate un rewind del tempo aprendo un wormhole (un cunicolo spazio-temporale), ricacciate indietro tutti e ripetete l’esperimento, generando altri 5 anni di dati per gli N investimenti. Un altro “mondo possibile”. Lo fate 100 volte, generando quindi 100 “mondi possibili”. E poi confrontate graficamente le 100 frontiere stimate dai Sapiens (pallini blu) con la vera frontiera (pallini rossi): ecco il grafico.

Le frontiere efficienti stimate dagli umani sono estremamente variabili in termini di posizione. Il che significa che sono sostanzialmente indeterminate: per un livello di rischio intermedio, il rendimento atteso stimato varia da 10% al 65% e passa. E per un dato livello di rischio, i pesi degli investimenti nei 100 “mondi possibili” variano moltissimo a seconda dei casi, anche da 0% a 50%. Guardate.

Quindi, se non si è il Dio dei Mercati, non c’è modo di sapere quale frontiera efficiente e quali pesi di portafoglio siano quelli giusti: sono largamente casuali, altro che ottimizzati! Freccette scagliate da scimpanzé bendati.

Perciò, quando un robo-advisor (o un promotore finanziario fiero del nuovo software fornitogli dalla casa madre) vi propina una frontiera efficiente stimata in modo naïf, sta sostanzialmente pescando a caso una delle 100 (o 1000, o 10000 o 100000…) frontiere efficienti possibili.

Vi domanderete perché tutto ciò e perché hanno attribuito il Nobel a Markowitz per la MPT. Beh, la teoria di Markowitz, seppur denominata “Modern”, risale al lontano 1952. Ha chiarito che per ottenere più rendimento occorre più rischio, e la ricerca dell’equilibrio tra le due grandezze può essere effettuata applicando metodi scientifici: un grande contributo. Ma nei 63 anni che ci separano dal 1952, il sapere ha fatto qualche altro passo avanti. Nello specifico, si è capito che quando un modello – come la frontiera efficiente – richiede la stima di troppi parametri rispetto ai dati a disposizione^[2], si ha grande indeterminatezza nell’output finale. Lo avete visto. Frontiere da scimmia.

La lista dei problemi della MPT è lunga ancora un miglio, credetemi. Ma mi fermo qui, sperando di essere riuscito a rendervi sospettosi nei confronti di semplicistiche applicazioni di teorie da Nobel. Quanto ai cosiddetti robo-advisor, è bene che si concentrino sulla robustezza statistica di ciò che propongono – che è quanto cerchiamo di fare in AdviseOnly.

Morale: attenzione a non cadere vittime della “quantofrenia”, l’eccessiva e cieca fiducia nei modelli, a prescindere da chi ve li propone (robo-advisor inclusi).

 

_{[1] Tratteggio le idee essenziali, schivando (per evidenti motivi di sintesi) gran parte dei dettagli, inutili se lo scopo è comprendere il cuore del problema: chi desidera approfondire la MPT può partire da questi riferimenti e chiedermi direttamente dettagli (mi occupo professionalmente di ottimizzazione di portafogli da una vita).}

_{[2] Con N possibili investimenti, vanno stimati N*(N+1)/2+N parametri; ad esempio, se N = 30, ho 495 parametri da stimare. Ciò implica che con 10 anni di dati mensili, cioè 10 anni x 12 mesi x 30 asset = 3600 dati, mi ritrovo circa 3600 dati/495 parametri ≈ 7,3 dati mensili per ogni parametro da stimare: ben poca informazione, lo si intuisce anche senza formazione statistica. Ovvio che il risultato finale sia altamente indeterminato.}