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#Numeriacaso: la frontiera efficiente e i portafogli creati da scimmie bendate

robo-advisor

I cosiddetti robo-advisor spuntano come funghi ovunque. L’onda del Fintech, del digital investment, cresce in tutto il mondo. In quell’onda ci siamo anche noi di AdviseOnly.

Credo sia un’onda assai benefica per i risparmiatori: dovrebbe portare con sé trasparenza e costi più bassi, democratizzando la finanza e, in definitiva, provocando l’evoluzione dell’industria del risparmio gestito, obsoleta da molti, troppi, punti di vista.

In tutto ciò trovo però inquietante una cosa: si parla troppo di Modern Portfolio Theory (MPT, per brevità) e di Markowitz.

Molti robo-advisor asseriscono infatti di fornire “portafogli ottimizzati grazie alla MPT per offrire la miglior performance possibile” (Betterment). Determinano “il mix ottimale di investimenti grazie alla Frontiera Efficiente, utilizzando l’ottimizzazione media-varianza, la base della MPT del vincitore del premio Nobel Harry Markowitz” (Wealthfront).

Se partecipate a una conferenza di Fintech – e a me capita – affermazioni del genere sono frequenti.

Vi chiederete dove stia il problema. Beh, il problema è che se il vostro portafoglio è stato creato grazie all’ingenua applicazione della MPT, vi trovate con un bel mix casuale di investimenti, praticamente un portafoglio creato da uno scimpanzè bendato. Random Portfolio Theory, più che Modern Portfolio Theory. Per convincervene, procediamo per gradi, introducendo prima l’idea (mitica) di frontiera efficiente.

La frontiera efficiente for dummies

L’idea si riassume così[1]:

  • vogliamo allocare denaro tra N investimenti, costruendo un portafoglio “ottimale”;
  • ipotizziamo di conoscere il meccanismo che produce i rendimenti degli N investimenti – si tratta di variabili casuali che seguono una certa distribuzione di probabilità, che si chiama gaussiana multivariata (se non avete idea di cosa sia, non importa, restate con me, afferrerete l’idea ugualmente);
  • questa distribuzione di probabilità è definita da due gruppi di parametri, ovvero le medie dei rendimenti (i rendimenti attesi), che chiamiamo m, e la matrice di covarianza, S (immaginatela semplicemente come una tabella zeppa di numeri);
  • una volta deciso il livello di rischio che intendiamo sopportare, secondo la Modern Portfolio Theory, i pesi ottimali dei vari investimenti dipendono dalle medie m e dalla matrice di covarianza, S (vi risparmio la formula, inessenziale per capire la natura del problema);
  • i parametri m e S però non sono noti, ma vanno stimati a partire dai dati, generalmente le serie storiche dei rendimenti degli N investimenti (in pratica si prendono i dati e si applicano delle formule);
  • muniti delle stime di m e S, applicando un’altra formula, si ottengono i pesi dei vari investimenti nei portafogli ottimi, da quello con il rischio minimo a quello con il massimo rendimento possibile;
  • l’insieme di questi portafogli ottimi è detto frontiera efficiente, tipicamente rappresentata con un grafico che mette in relazione rischio e rendimento atteso per tutti i portafogli.

frontiera_efficiente_dei_portafogli

Fin qui tutto bellissimo. E poi molto scientifico, no? C’è anche di mezzo un premio Nobel, wow! Immagino che molti di voi ritengano che mi stia arrovellando intorno a una sottile questione tecnica, irrilevante nella pratica.

Niente di più sbagliato. State con me e vi mostrerò la vastità del problema. Però devo farvi prima indossare i panni di Dio.

Nei panni del Dio dei Mercati

Immaginate di essere il Dio dei Mercati. Fico. In quanto divinità onnisciente e onnipotente, decidete il meccanismo generatore dei rendimenti di tutte le attività finanziarie: una distribuzione di probabilità gaussiana multivariata, sicché la MPT calza perfettamente con la realtà. Essendo il Dio dei Mercati non dovete stimare m e S: li conoscete, anzi, li avete stabiliti voi. Calcolate la frontiera efficiente, che è vera e giusta per definizione, e ottenete un grafico come quello riportato poco sopra.

Poi, rivolgete lo sguardo divino ai poveri umani: volete proprio vedere come se la cavano con la teoria di portafoglio. Generate quindi le serie storiche dei rendimenti degli N investimenti, ad esempio 5 anni di dati, in modo che i miserabili Sapiens possano stimare medie m, covarianza S e, con un ardito calcoletto, la frontiera efficiente. Poi con un po’ di sadismo, fate un rewind del tempo aprendo un wormhole (un cunicolo spazio-temporale), ricacciate indietro tutti e ripetete l’esperimento, generando altri 5 anni di dati per gli N investimenti. Un altro “mondo possibile”. Lo fate 100 volte, generando quindi 100 “mondi possibili”. E poi confrontate graficamente le 100 frontiere stimate dai Sapiens (pallini blu) con la vera frontiera (pallini rossi): ecco il grafico.

quale_frontiera_efficiente

Le frontiere efficienti stimate dagli umani sono estremamente variabili in termini di posizione. Il che significa che sono sostanzialmente indeterminate: per un livello di rischio intermedio, il rendimento atteso stimato varia da 10% al 65% e passa. E per un dato livello di rischio, i pesi degli investimenti nei 100 “mondi possibili” variano moltissimo a seconda dei casi, anche da 0% a 50%. Guardate.

peso_investimento_nei_100_mondi_possibili

Quindi, se non si è il Dio dei Mercati, non c’è modo di sapere quale frontiera efficiente e quali pesi di portafoglio siano quelli giusti: sono largamente casuali, altro che ottimizzati! Freccette scagliate da scimpanzé bendati.

Perciò, quando un robo-advisor (o un promotore finanziario fiero del nuovo software fornitogli dalla casa madre) vi propina una frontiera efficiente stimata in modo naïf, sta sostanzialmente pescando a caso una delle 100 (o 1000, o 10000 o 100000…) frontiere efficienti possibili.

Vi domanderete perché tutto ciò e perché hanno attribuito il Nobel a Markowitz per la MPT. Beh, la teoria di Markowitz, seppur denominata “Modern”, risale al lontano 1952. Ha chiarito che per ottenere più rendimento occorre più rischio, e la ricerca dell’equilibrio tra le due grandezze può essere effettuata applicando metodi scientifici: un grande contributo. Ma nei 63 anni che ci separano dal 1952, il sapere ha fatto qualche altro passo avanti. Nello specifico, si è capito che quando un modello – come la frontiera efficiente – richiede la stima di troppi parametri rispetto ai dati a disposizione[2], si ha grande indeterminatezza nell’output finale. Lo avete visto. Frontiere da scimmia.

La lista dei problemi della MPT è lunga ancora un miglio, credetemi. Ma mi fermo qui, sperando di essere riuscito a rendervi sospettosi nei confronti di semplicistiche applicazioni di teorie da Nobel. Quanto ai cosiddetti robo-advisor, è bene che si concentrino sulla robustezza statistica di ciò che propongono – che è quanto cerchiamo di fare in AdviseOnly.

Morale: attenzione a non cadere vittime della “quantofrenia”, l’eccessiva e cieca fiducia nei modelli, a prescindere da chi ve li propone (robo-advisor inclusi).

 

[1] Tratteggio le idee essenziali, schivando (per evidenti motivi di sintesi) gran parte dei dettagli, inutili se lo scopo è comprendere il cuore del problema: chi desidera approfondire la MPT può partire da questi riferimenti e chiedermi direttamente dettagli (mi occupo professionalmente di ottimizzazione di portafogli da una vita).

[2] Con N possibili investimenti, vanno stimati N*(N+1)/2+N parametri; ad esempio, se N = 30, ho 495 parametri da stimare. Ciò implica che con 10 anni di dati mensili, cioè 10 anni x 12 mesi x 30 asset = 3600 dati, mi ritrovo circa 3600 dati/495 parametri ≈ 7,3 dati mensili per ogni parametro da stimare: ben poca informazione, lo si intuisce anche senza formazione statistica. Ovvio che il risultato finale sia altamente indeterminato.

Scritto da

Uno dei fondatori di AdviseOnly, responsabile del Financial & Data Analysis Group. Esperto di finanza e gestione dei rischi, statistico Bayesiano, lunga esperienza in Allianz Asset Management, è laureato in scienze economiche con indirizzo quantitativo-statistico all'Università di Torino. Docente di Quantitative Portfolio Management al Master in Finance dell'Università di Torino, ha pubblicato vari articoli su riviste finanziarie (fra le altre: Journal of Asset Management, Economic Notes, Risk), contribuendo a libri su investimenti e gestione dei rischi. Ex-triathleta, s'ostina a praticare apnea, immersioni e skyrunning.

Ultimi commenti
  • Salve Raffaele.
    La mia opinione è che la finanza non è una scienza e non ci sono modelli o metodi che posso essere portatori di verità assolute. .
    Complimenti per l’articolo.
    Andrea R.

    .

    • Raffaele Zenti

      Secondo me la finanza si presta assai ad essere trattata con metodi scientifici. Ma avendo ben presente la reale natura di cosa si ha di fronte: un sistema creato dall’uomo, di natura complessa (nel senso matematico-statistico del termine), dalla struttura continuamente in movimento.
      Proprio per questo, nessun metodo puramente quantitativo sarà del tutto vincente.
      Non lo sarà nemmeno alcun metodo puramente qualitativo, però (se non si confonde la fortuna/caso con l’abilità).
      Le maggiori opportunità stanno probabilmente nel mezzo.

  • Esistono delle piattaforme open source (o simili) che mettono a disposizione dei simulatori di MPT?

    • Raffaele Zenti

      Beh, sul nostro sito trovi l’ERC (Equal Risk Contribution), ovvero ottimizzazione in modo che ogni asset contribuisca in modo uguale al RISCHIO di portafoglio (algoritmo robusto), e a gg il min downside risk.

      Se vuoi provare un media-varianza classico (te lo sconsiglio, per i motivi che sono accennati nel post, più altri…), prova ad esempio: https://www.portfoliovisualizer.com/optimize-portfolio

  • Il servizio di consuelnza evoluta Advice di Fineco funziona in questo modo?

    • Raffaele Zenti

      Non so di preciso, ma penso sia abbastanza qualitativo/artigianale (il che è sicuramente emglio di una bovina applicazione della MPT basica).

      • Sull’uso bovino del modello media varianza condivido il tuo pensiero 🙂 Il portafoglio ottimo dipende dalla frontiera scelta e dalla capital market line. Il punto di tangenza definisce i pesi del portafoglio ottimo da bilanciare con free risk o da espandere in leva in base al budget di rischio stabilito dal cliente. Il cliente avverso al rischio di solito non va oltre il portafoglio ottimo e tutti gli altri sono portafogli dominati dalla capital market line e presuppongono una distribuzione intorno ai valori medi della frontiera efficiente che genera fasci di frontiere legati alla deviazione standard rispetto alla media. Più o meno la teoria finanziaria è arrivata qui.

  • La frontiera efficiente rappresenta un momento di partenza della teoria moderna di portafoglio non un dogma assoluto ed universale.

    Sharpe ne ha dato una rappresentazione matematica ed ha fornito gli strumenti per la definizione del portafoglio di Mercato sostituendo le curve di utilità con la Capital Market Line.

    Il portafoglio di mercato è il portafoglio di equilibrio di mercato rispetto al quale confrontare il proprio.

    La frontiera efficiente garantisce un ipotetico punto di riferimento dal quale partire e di certo senza di essa il lavoro di chiunque sarebbe approssimativo e poco professionale.

    Denigrare un metodo come ha fatto lei, dimostra di non conoscerlo a fondo.

    Tra l’altro la costruzione di un portafoglio sia a livello strategico che tattico tra i professionisti non avviene nel modo che lei ha scimmiottato dimostrando di non conoscere il mercato di cui tenta di parlare in maniera piuttosto superficiale.

    Cordiali saluti

    • Raffaele Zenti

      Verrò a lezione da lei, sono ansioso di attingere a piene mani dalla sua scienza.

      • Black e Litterman hanno risolto alcuni problemi riscontrati in Markowitz introducendo condizionamenti bayesiani nel 1993.
        La distribuzione dei rendimenti usata nella valutazione credo cambi poco la sostanza. È ovvio che avremo sempre un fascio di frontiere efficienti più o meno condizionate.
        Detto questo, la scelta del portafoglio ricadrà sempre per il cliente avverso al rischio, su una combinazione di free risk e portafoglio di mercato.

        • Raffaele Zenti

          Rabbrividisco quando sento parlare di:
          1) “portafoglio di mercato” – quale mercato, esattamente? E, comunque, basato su market cap? i portafogli market cap sono spesso pesantemente sub-ottimali sotto molteplici criteri di ottimalità
          2) risk free rate – semplicemente, non esiste.

          Quella è teoria della finanza classica, utile per comprendere alcuni principi, per fissare alcuni punti cardinali. Ma che costituisce una tecnica suicida per costruire e gestire portafogli (guardi, AdviseOnly a parte, l’ho fatto per una vita, prima come risk manager e poi come quantitative protfolio manager in Allianz: nessun gestore sano di mente che lavora per una società seria applicherebbe mai la MPT in modo pedissequo e scolatico).
          Del modello di Black-Litterman (che, onestamente, è una banale applicazione di stima Bayesiana nel caso di distribuzione normale multivariata, in statistica lo facevano da decenni prima di Black-Litterman) ne esistono un numero vasto di versioni. E’ una delle soluzioni (dipende), non è detto che sia LA soluzione, anche perché le soluzioni basiche sono assurde: prior = portafoglio di mercato (???), likelihood rendimenti storici + tilt.
          Comunque, il bello delle opinioni è che sono varie.

          • Mi scusi se la importuno, ma la discussione è molto stimolante ed il viaggio da Milano lungo.

            Portafoglio di Mercato:

            Per discutere bisogna porre dei punti di riferimento, i sofisti ebbero vita breve perché amavano la retorica solo per il gusto di contraddire e sconfiggere l’avversario. Poi arriva Platone e definisce dei punti fermi nella trascendenza.

            In economia ed oggi in finanza se non avesse una curva di domanda e di offerta come farebbe ad avere dei punti di riferimento?

            Per convenzione si scelgono delle asset class magari micro magari 100 150 diverse attraverso le quali analizzare matematicamente regressioni passate e scenari futuri.

            La statistica, penso che lo sappia fa i suoi studi, ma poi chi fa soldi sono le società di gestione e mi sembra che Black e Litterman fossero due quantitativi al servizio di un colosso dell’industria finanziaria. Loro ebbero l’ardire di usare una teoria che lei sbeffeggia, risolvendo almeno uno dei problemi della stessa, cioè l’evoluzione degli scenari futuri, attraverso dei condizionamenti nella scelta di portafoglio.

          • Raffaele Zenti

            Io non sbeffeggio teorie che hanno enormi spunti intellettuali. Solo, non è detto che debbano esser prese alla lettera. E pertanto, semplicemente, guardo ad alcun teorie che lei considera “sacre”, per quel che sono, alla luce degli avanzamenti della teoria e della pratica finanziaria, con pregi e difetti, avendo peraltro io per circa 20 anni gestito portafogli in modo quantitativo e sistematico, scritto codice per applicazioni industriali di portfolio optimization e scritto qualche pubblicazione accademica a riguardo (che mi vale una docenza all’università di Torino – ma questo è irrilevante).
            Peraltro, non mi travisi: sono un convinto sostenitore ed utilizzatore della statistica Bayesiana. La uso di continuo, anche per lavori analitici legati a dati non-finanziari, ad esempio di traffico web. Dico solo che il cd “modello di Black Litterman” non è un modello, non ha nessuna novità, perché è un problema classico di statistica Bayesiana derivare la posterior da una prior e una likelihood multivariate normali – si trova su qualunque libro di statistica Bayesiana (ad esempio: https://www.amazon.com/Bayesian-Analysis-Chapman-Statistical-Science/dp/1439840954?ie=UTF8&qid=1466666659&ref_=la_B001IGUSKM_1_1&s=books&sr=1-1). Il grande pregio di B-L fu di sdoganare la statistica Bayesiana in finanza, cosa che apre enormi opprtunità ed estensioni.
            Comunque, vedo che lei è molto affezionato e poco dubbioso riguardo alle teorie “classiche”: ripeto allora quanto detto in precedenza, la varietà di opinioni genera entropia, che è un bene per ridurre il rischio sistemico.

          • Ma l’applicazione del modello media varianza si realizza definendo la curva di domanda. La capital market line consente di definire l’ottimo di portafoglio ed i pesi intorno ai quali costruire quello del cliente.

          • Il portafoglio di mercato ottimo è poi solo un dato convenzionale necessario per definire dei punti fermi. La teoria prevede poi spostamenti lungo la capital market line e soprattutto nei limiti dei budget di rischio. Questo è il metodo classico. Oggi poi si passa dalla ponderazione dei pesi di portafoglio alla ponderazione delle volatilità in modo dinamico, parlo di Risk Parity o leveraged Risk Parity. Credo molto nell’implementazione bayesiana di questi modelli.

          • Continua a parlare di utilizzo scolastico della teoria di portafoglio.

            La teoria di portafoglio che ho in mente io, non è quella che lei pensa allora. Essa nasce dall’esigenza del cliente avverso al rischio, di definire un portafoglio ottimo di mercato attorno al quale cominciare a lavorare.

            La teoria di portafoglio definisce un portafoglio ottimale frutto dell’incontro della frontiera efficiente stimata dal mercato secondo le logiche della Sharpe Analisys. Sharpe seleziona delle micro e macro asset class e definisce una frontiera di portafoglio. Attraverso la Capital Market Line che misura la relazione tra rendimento e rischio della curva di domanda, si trova il portafoglio ottimale di mercato sulla curva dell’offerta di mercato e la spezzata dei portafogli frutto della combinazione tra free risk e portafoglio ottimale.

            Il portafoglio ottimo separa i portafogli senza leva finanziaria da quelli in leva.

            Detto questo poi ogni tipo di elucubrazione è possibile.

            Lei ridacchia di gente che ha preso premi nobel per i suoi studi, ma a quanto pare lei mi sembra più un ingegnere matematico che un economista quantitativo.

          • Raffaele Zenti

            Non sono affatto un economista, e ne sono felicissimo (troppi dogmi, troppe teorie imposte alla realtà, proprio come il “portafoglio di mercato” e il CAPM), ho un background in probabilità e statistica, focus Bayesiano (il mio CV è in calce) e vent’anni d’esperienza in finanza quantitativa.

      • L’incertezza della stima dei parametri esiste sempre. È per questo che ad ogni frontiera, corrisponde un fascio di frontiere distribuite lognormalmente o meno in funzione della distribuzione dei rendimenti.

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